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  浅谈伯努利双纽线——肖佳曦 ——肖佳曦 4018 张寒希 4002 摘要:关于伯努利双纽线 年,雅各布伯努利将其作为椭 圆的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹。而卡西 尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。 当此定值使得轨迹经过 两定点的中点时,轨迹便为伯努利双纽线。伯努利将这种曲线称为 lemniscate, 为拉丁文中“悬挂的丝带”之意。伯努利双纽线在科技和轻工业领域也得到了广 泛应用,在欧洲,伯努利还将伯努利双纽线应用于赌博术中。 关键词:伯努利双纽线,卡西尼卵形线,四次代数曲线, 引言:伯努利双纽线是一个特殊的曲线,它是多种曲线的特殊情况,这就意 味着伯努利双纽线在沟通各曲线研究上起到了重要的作用, 因此对于伯努利双曲 线的探讨显得尤为重要和迫切。在计算机高速发展的今天,我们可以采用“数形 结合”的方法对曲线的演变过程进行观察和探究。伯努利双纽线 本文通过对伯努利双纽线由来 及性质的探究, 提出数学研究需要发散思维的观点。 在雅各布 伯努利的著作 《猜 度术》一书中,提出了关于伯努利双纽线的许多应用。 模型的建立: 在数学中,伯努利双纽线是由平面直角坐标系中的以下方程定义 的平面代数曲线)。 ( 伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示: ρ^2=a^2*cos2θ 在双极坐标系,伯努利双纽线的方程也类似:rr’=a^2/2 rr’ rr 伯努利双纽线是卡西尼卵形线,双纽线和正弦螺线的特殊情况,是双曲线关 于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。 卡西尼卵形线是这样的曲线:设点 M 到两个定点 F1 与 F2 的距离的乘积是个常 量,即点 M 的几何轨迹叫做卡西尼卵形线。设 ,取 所在直线 的中点 O 为极 点,则可推出卵形线的极坐标方程为: 而当时,所对应的曲线)所对应的方程为:图(1) 通过对回转抛物面与圆柱面相交的研究得出交线)为四次代数曲线——Perseus 座曲线的结论。其形状特征及其变 化规律取决于参数 P,R 和 h 之值,当 h=R,P=2h 时,为其特殊情况伯努利双纽线) 伯努利双纽线的作图方法:根据已知参数 R.h, 先定出其公共焦点 F1(2h,0),F2(-2h,0)及曲线 的——曲线)与 x 轴的交 点。当 R=h 时,有 A1(8^1/2h,0),A2(-8^1/2h,0)如曲线F2 为圆心,分别以 R1=A1N1,R2=A1N2,为半径画弧交于点 M,则交点 M 属于曲线),连续转动射线L,性能比浅谈则点 M 画出的轨迹为本曲线族。根据圆幂可知:A1N1*A1N2=A1F1*A1F2= 定值,根据作图已知,MF1=A1N1,MF2=A1N2,于是 MF1*MF2=A1N1*A1N2=A1F1*A1F2=定 值。 根据圆幂,该定值应等于 d^2-r^2,其中 r 为圆的半径,d 为定点 A1 到圆 心的距离。 根据本作图有 r=OF1=2h,d=OA1=[4h(h+R)]^1/2,于是,d^2-r^2=a^2=4hR,则 a=2(hR)^1/2。 同时也可作如下证明定出 a 值:设动点 M 的坐标为 M(x,y),为 a^2.根据 MF1*MF2=定值=a^2,则有经整理得很显然上式应与式(1)完全相等。对照式(1)可得:a=2(hR)^1/2 与上述结果完 全一致于是就得出了本曲线)的几何作图方法. 曲线) 模型的性质:在笛卡尔坐标系中,伯努利双纽线关于坐标原点对称,坐标原 点是具有切线 y=±x 的结点和拐点。 从伯努利双纽线上任何一点 M 到给定的两点 ± F1F2 的距离之积,等于 F1F2 之间的距离的平方。曲线的形状类似于打横的阿拉 伯数字 8 或者无穷大的符号∞。 伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为: k=±3(x^2+y^2)^1/2*a^k=±3(x^2+y^2)^1/2*a^-2 伯努利双纽线 每个回线围成的面积为 s=a^2 r=2a^2/3ρ 正负号取决于描绘曲线时所取的方向。伯努利双纽线的曲率有一个有趣的性 质:其每一点上的曲率的绝对值与此点到原点的距离成正比关系。 应用: (1)在纺织中的应用:伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用,用双 纽线编织的布料外形美观,结构紧密,具有重复性和渐变性。 (2)在增压器中的应用:伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工业 中得到广泛应用。 (3)在赌博术中的应用:在雅各布伯努利的《猜度术》一书中,将伯努利 双纽线广泛应用到赌博术中。 结论:伯努利双纽线作为卡西尼卵形线,双纽线和正弦螺线的特殊情况,同 时又是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。 它在数学曲线领域的地位 占有至关重要的地位, 对于伯努利双纽线的研究有助于我们更好地研究其他相关 曲线,达到触类旁通的效果。伯努利双纽线在轻工业和科技方面都得到广泛而恰 到好处的应用,因此,对于伯努利双纽线的研究是很有现实意义的。 参考文献: 1. 2.数学辞典 3.王叙贵.《多卵线与多纽线——卡西尼卵形线与伯努利双纽线的推广》. 昆 明:昆明师范高等专科学校学报 2001,23(4):34~36 CN53- 1131/G4 ISSN 1008–7958 4.周良德.《关于回转抛物面与圆柱面相交的研究》.湖南:湘潭大学机械工 程学院工程图学学报 2000 年第三期

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